গ্যোডেলের খাতায় লুকোনো ৬৬৩ রহস্য, মীমাংসায় এআই

বিশ শতকের অন্যতম প্রভাবশালী যুক্তিবিদ কার্ট গ্যোডেল। ১৯৩১ সালে প্রকাশিত তাঁর দুটি অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য গণিতের জগতে কার্যত বিপ্লব ঘটিয়েছিল। আধুনিক গণনাতত্ত্বের বিকাশেও ছিল সেই কাজের গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা। অথচ তাঁর মৃত্যুর পরও অপ্রকাশিত থেকে গিয়েছিল হাজার হাজার পৃষ্ঠার গবেষণাপত্র। এ বার সেই অজানা জগতের দরজা খুলতে সাহায্য করল কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা (এআই)। গ্যোডেলের হাতে লেখা পুরনো খাতা বিশ্লেষণ করে ক্লড খুঁজে পেয়েছে ৬৬৩টি উপপাদ্য, যার অনেকগুলির অস্তিত্ব সম্পর্কে এত দিন জানতেন না গবেষকেরাও।

তিরিশের দশকে যুগান্তকারী গবেষণার পর গ্যোডেল প্রকাশ করেছিলেন হাতে গোনা কয়েকটি গবেষণাপত্র। কিন্তু তাঁর অপ্রকাশিত লেখাপত্রের পরিমাণ কয়েক দশ হাজার পৃষ্ঠা। বিজ্ঞান ও গণিতের ইতিহাস নিয়ে গবেষকদের কাছে দীর্ঘদিন ধরেই সেগুলি ছিল বিশেষ আগ্রহের বিষয়।

১৯৪০-এর দশকের গোড়ায় লেখা গ্যোডেলের ১৬টি নোটবইয়ের পাঠোদ্ধারে ২০১৭ সাল থেকে কাজ করছেন ফিনল্যান্ডের যুক্তিবিদ জ্যান ভন প্লাটো। হেলসিঙ্কি বিশ্ববিদ্যালয়ের এই প্রকল্পে তাঁর হাতে রয়েছে ‘ওয়ার্কবুক’ নামে পরিচিত ১,০০৯ পৃষ্ঠার হাতে লেখা নোট। গণিত ও যুক্তিবিদ্যার জটিল সূত্রে ঠাসা সেই খাতার বড় অংশই লেখা গ্যাবেলসবার্গার নামে এক জার্মান সাঁটলিপিতে। গ্যোডেলের সময়ে এই লিপির ব্যবহারও প্রায় উঠে গিয়েছিল।

ফলে পাঠোদ্ধারের কাজ এগোচ্ছিল শম্বুকগতিতে—সপ্তাহে মাত্র একটি পৃষ্ঠা। কিন্তু গত সেপ্টেম্বরে এআই মডেল ক্লডের সাহায্য নেওয়ার পর ছবিটা বদলে যায়। কয়েক দিনের মধ্যেই খাতাগুলির একটি বিস্তারিত ব্যাখ্যা ও সারসংকলন তৈরি করে দেয় ক্লড। তাতেই সামনে আসে চমকে দেওয়ার মতো তথ্য: গ্যোডেল এমন শত শত গাণিতিক উপপাদ্যের প্রমাণ বা প্রমাণের খসড়া তৈরি করেছিলেন, যেগুলির কথা আধুনিক গবেষকদের জানা ছিল না।

অর্থাৎ, এত দিন যে কাজের জন্য গ্যোডেলকে স্মরণ করা হত, তাঁর গবেষণার পরিধি বাস্তবে তার চেয়েও অনেক বিস্তৃত হতে পারে।

‘‘আমি হতবাক হয়ে গিয়েছিলাম,’’ বলেন ভন প্লাটো। তাঁর কথায়, খাতাগুলিতে এমন কয়েক ডজন গাণিতিক ফলাফলের আগাম সন্ধান রয়েছে, যেগুলি সত্তর ও আশির দশকের আগে আবিষ্কৃত হয়নি। শুধু তা-ই নয়, যুক্তিবিদ্যার এমন ১৪টি বিষয়ও উঠে এসেছে, যেগুলি নিয়ে পরবর্তী কালে আর গবেষণাই হয়নি। তাঁর মতে, ‘‘গ্যোডেল নিজের সময়ের চেয়ে অনেক এগিয়ে ছিলেন।’’

গণিতের জ্ঞানের সীমা কোথায়, তা নিয়েই গ্যোডেলের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কাজ। ১৯৩১ সালের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য দেখিয়েছিল, গাণিতিক ব্যবস্থার মধ্যে এমন কিছু সত্য বিবৃতি থাকতে পারে, যেগুলিকে সেই ব্যবস্থার নিয়ম মেনে প্রমাণ করা সম্ভব নয়। অর্থাৎ, গণিতের কোনও একটি নির্দিষ্ট কাঠামোর ভিতরে দাঁড়িয়ে সমস্ত সত্যকে প্রমাণ করে ফেলার আশা বাস্তবসম্মত নয়। এই আবিষ্কার যুক্তিবিদ্যার গতিপথ বদলে দেয়। গ্যোডেলের কাজ থেকেই অনুপ্রাণিত হয়ে অ্যালান টিউরিং ১৯৩৬ সালে সেই গবেষণাপত্র লেখেন, যা আধুনিক গণনাতত্ত্বের ভিত্তি তৈরি করে।

১৯৪০ সালে নাৎসিশাসিত অস্ট্রিয়া ছেড়ে আমেরিকায় চলে যান গ্যোডেল। নিউ জার্সির প্রিন্সটনে ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডিতে কাজ করার সময় আলবার্ট আইনস্টাইনের সঙ্গে তাঁর ঘনিষ্ঠ বন্ধুত্ব গড়ে ওঠে। জীবনের শেষ দিকে খাবার নিয়ে প্রবল অবিশ্বাস তৈরি হয়েছিল তাঁর। স্ত্রীর রান্না ছাড়া অন্য কোনও খাবার খেতে চাইতেন না। ১৯৭৮ সালে অনাহারে মৃত্যু হয় এই প্রখ্যাত যুক্তিবিদের।

ভন প্লাটো জানান, ২০১৭ সালে হেলসিঙ্কি বিশ্ববিদ্যালয় থেকে বাধ্যতামূলক অবসরের সময় ঘনিয়ে আসছিল। তখনই গ্যোডেলের দুর্বোধ্য নোটবইয়ের পাঠোদ্ধারের প্রকল্প শুরু করার সিদ্ধান্ত নেন তিনি।

‘‘নিজেকে অপরিহার্য করে তুলতে কী করতে পারি? ঠিক আছে, গ্যোডেলের দুর্বোধ্য সাঁটলিপির পাতাগুলি পড়তে শুরু করি!’’

এই প্রকল্পের জন্য ইউরোপীয় রিসার্চ কাউন্সিল থেকে ২৫ লক্ষ ইউরো, অর্থাৎ প্রায় ২১ লক্ষ পাউন্ড অনুদান পান ভন প্লাটো। নিজেই গ্যাবেলসবার্গার সাঁটলিপি শেখেন এবং একটি ছোট গবেষকদল গড়ে তোলেন। তাঁর দাবি, ‘‘পৃথিবীতে মাত্র ছ’জন মানুষ এই লিপি পড়তে পারেন। আমি তাঁদের একজন।’’

এআই ব্যবহারের সূত্রপাত অবশ্য আরও পরে। গত অগস্টে ফ্রান্সে কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা ও গাণিতিক উপপাদ্য প্রমাণ নিয়ে একটি সম্মেলনে কয়েক জন কম্পিউটারবিজ্ঞানীর সঙ্গে দেখা হয় ভন প্লাটোর। তাঁরাই পরামর্শ দেন, গ্যোডেলের খাতাগুলির পাঠোদ্ধারে ক্লডের সাহায্য নেওয়া যেতে পারে।

হেলসিঙ্কিতে ফিরে নিজের তৈরি করা খাতাগুলির প্রতিলিপি ক্লডকে দেন তিনি। সঙ্গে দেন গ্যোডেলকে নিয়ে লেখা নিজের ছ'টি বই এবং সংশ্লিষ্ট বৈজ্ঞানিক গবেষণাপত্র ও অন্যান্য সাহিত্য।

‘‘কয়েক দিনের মধ্যেই খাতাগুলির ৬৫০ পৃষ্ঠার ব্যাখ্যা হাতে পেলাম,’’ জানান ভন প্লাটো। তবে এআইয়ের তৈরি সেই ব্যাখ্যা যাচাই করতে হয়েছে পৃষ্ঠা ধরে ধরে। তাঁর মতে, মানুষের পক্ষে এমন কাজ প্রায় অসম্ভব। একজন গবেষক একবারে একটি পৃষ্ঠা পড়েন, তার পরের পাতায় যেতে যেতে আগের অনেক তথ্যই ভুলে যান। প্রায় ৫০ পৃষ্ঠার তথ্য একসঙ্গে মিলিয়ে দেখতে এক বছরও লেগে যেতে পারে।

কিন্তু এআইয়ের সুবিধা অন্য জায়গায়। হাজার পৃষ্ঠার বিভিন্ন অংশে ছড়িয়ে থাকা সূত্র ও ধারণাগুলিকে একসঙ্গে জুড়ে দেখতে পারে সে। ভন প্লাটোর কথায়, ‘‘কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা হাজার পাতার মধ্যে ছড়িয়ে থাকা সব টুকরোকে যুক্ত করতে পারে। গ্যোডেলের সমস্ত লেখাকে একটি অখণ্ড রচনা হিসেবে দেখতে পারে।’’

এআইয়ের এই দক্ষতার পরীক্ষা হয় গ্যোডেলের একটি পুরনো দাবিকে ঘিরে। বিষয়টি হল ‘অ্যাক্সিয়ম অব চয়েস’ বা নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধ এবং ‘কন্টিনিউয়াম হাইপোথিসিস’ বা অবিচ্ছিন্নতার অনুমান। সেটতত্ত্বের এই দুটি গুরুত্বপূর্ণ বিবৃতির স্বাধীনতা নিয়ে কাজ করে ১৯৬৬ সালে ফিল্ডস মেডেল পেয়েছিলেন আমেরিকান গণিতবিদ পল কোহেন।

কিন্তু কোহেনের সাফল্যের পর গ্যোডেল দাবি করেছিলেন, তিনি চল্লিশের দশকেই ওই ফলাফলের প্রমাণ করেছিলেন। সমস্যা হল, সহকর্মীরা প্রমাণ দেখতে চাইলে নিজের নোট থেকে তা আর পুনর্গঠন করতে পারেননি তিনি।

ভন প্লাটো ক্লডকে প্রথমেই একটি নির্দিষ্ট প্রশ্ন করেন: গ্যোডেলের খাতায় নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধের স্বাধীনতার কোনও প্রমাণ রয়েছে কি না? থাকলে বোঝা যাবে, ১৯৬৬ সালে নিজের কাজ নিয়ে গ্যোডেলের দাবির ভিত্তি কতটা শক্তিশালী ছিল।

ক্লডের উত্তর—প্রমাণ প্রায় রয়েছে।

ভন প্লাটোর ব্যাখ্যা, ‘‘তিনি আর মাত্র এক ধাপ দূরে ছিলেন। একটি সংজ্ঞায় ভুল করেছিলেন। অথচ তার দু’বছর আগেই সঠিক সংজ্ঞাটি তাঁর কাছে ছিল। মনে হয়, আরও কয়েক মাস কাজ চালিয়ে গেলে তিনি সঠিক সংজ্ঞাতেই পৌঁছে যেতেন।’’

তাঁর মতে, গ্যোডেলের প্রমাণের কাঠামোটি বিশেষ তাৎপর্যপূর্ণ। এর সাহায্যে সেটতত্ত্বের একাধিক ফলাফল একই পদ্ধতিতে প্রতিষ্ঠা করা সম্ভব হতে পারে। ভন প্লাটো আরও বলেন, গ্যোডেল কেবল সূত্র নিয়ে পরীক্ষা-নিরীক্ষা করতেন না। প্রথমে একটি স্পষ্ট ধারণা তৈরি করতেন, তার পর ধাপে ধাপে পদ্ধতিগত ভাবে প্রমাণের দিকে এগোতেন।

ক্লডের পুনর্গঠিত প্রমাণ অবশ্য সরাসরি মেনে নেননি ভন প্লাটো। সেটি ‘কক’ (Coq) নামে একটি প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্টে পরীক্ষা করেন তিনি। এই সফটওয়্যার গাণিতিক প্রমাণের প্রতিটি ধাপ যাচাই করে। ভন প্লাটোর দাবি, প্রমাণটি সেই পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে।

তাঁর অনুমান, নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধ নিয়ে নিজের কাজ প্রকাশ করতে পারলে ১৯৪০ সালের ফিল্ডস মেডেল পেতে পারতেন গ্যোডেল। কোহেন যখন ১৯৬৬ সালে সেই সম্মান পান, তখন গ্যোডেলের মনে হয়েছিল, তাঁর প্রাপ্য স্বীকৃতি হয়তো অন্য কারও হাতে চলে গিয়েছে।

এর পর ক্লডকে আরও বড় দায়িত্ব দেন ভন প্লাটো। খাতাগুলি থেকে এমন সব উপপাদ্য খুঁজে বের করতে বলেন, যেগুলির ক্ষেত্রে গ্যোডেল হয় সম্পূর্ণ প্রমাণ লিখেছিলেন, নয়তো প্রমাণের খসড়া তৈরি করেছিলেন অথবা কী ভাবে প্রমাণ করা যায়, তার ধারণা দিয়েছিলেন।

ক্লডের অনুসন্ধানে উঠে আসে মোট ৬৬৩টি উপপাদ্য।

এর মধ্যে প্রায় ৪০০টি কোনও পরিবর্তন ছাড়াই কক-এর পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে। প্রায় ২০০টির ক্ষেত্রে কিছু সংশোধন করতে হয়েছে—কোথাও উপপাদ্যের বক্তব্য আরও নির্দিষ্ট করতে হয়েছে, কোথাও যোগ করতে হয়েছে অতিরিক্ত শর্ত। বাকি প্রায় ৫০টি ক্ষেত্রে ভুল পাওয়া গিয়েছে।

ভন প্লাটোর মতে, এতে অবাক হওয়ার কিছু নেই। গ্যোডেল নিজেও নিজের পুরনো নোট ঘেঁটে ভুল ধরতেন। কোথাও মার্জিনে লিখে রাখতেন ‘ফাল্‌শ!’ অর্থাৎ ভুল, আবার কোথাও ‘শ্লেখ্‌ট!’ অর্থাৎ খারাপ।

তবে এই আবিষ্কারই শেষ নয়। ভন প্লাটোর বিশ্বাস, গ্যোডেলের পাণ্ডুলিপিতে আরও বহু অজানা গবেষণার সন্ধান মিলবে। তাঁর কথায়, খাতাগুলিতে যুক্তিবিদ্যা ও গণিতের ভিত্তি নিয়ে এমন এক ডজনেরও বেশি বিষয় রয়েছে, যেগুলি আশিরও বেশি বছর পরেও গবেষকদের নজরে আসেনি।

এ বার তাঁর নজর গ্যোডেলের পদার্থবিদ্যা ও মহাবিশ্বতত্ত্ব সংক্রান্ত নোটবইগুলির দিকে। যুক্তিবিদ্যার বর্তমান প্রকল্প শেষ হলে সেগুলি নিয়ে কাজ শুরু করতে চান তিনি।

এই আবিষ্কারের তাৎপর্য নিয়ে সতর্ক অবস্থানও রয়েছে গবেষক মহলে। আমেরিকার ইন্ডিয়ানা অঙ্গরাজ্যের নোটর ডেম বিশ্ববিদ্যালয়ের যুক্তিবিদ্যার অধ্যাপক জোয়েল ডেভিড হ্যামকিন্স এখনও ক্লডের পুনর্গঠিত প্রমাণটি পরীক্ষা করে দেখেননি। তবে তাঁর মতে, নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধের স্বাধীনতা নিয়ে গ্যোডেলের প্রমাণ যদি যাচাইয়ে টিকে যায়, তা হবে অসাধারণ এবং ঐতিহাসিক ভাবে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। যদিও সেই প্রমাণের কতটা গ্যোডেলের, আর কতটা ক্লডের অবদান, তা নির্ধারণ করতে হবে ইতিহাসবিদদের।

হ্যামকিন্সের সতর্কবার্তা, খাতায় কোহেনের প্রমাণের সঙ্গে সাদৃশ্যপূর্ণ কোনও কাজ পাওয়া গেলেই বলা যায় না যে গ্যোডেল সম্পূর্ণ প্রমাণটি করে ফেলেছিলেন। বরং বলা যায়, তিনি সেই পথেই এগোচ্ছিলেন।

তাঁর কথায়, ‘‘যে কাজের কথা আপনি কাউকে জানাননি, তার কৃতিত্ব পাবেন না। তবে গ্যোডেলের মতো যুগান্তকারী চিন্তাবিদের নোটবইয়ে যে এমন চমকপ্রদ বিষয়বস্তু থাকবে, তাতে অবাক হওয়ার কিছু নেই।’’